Un trapez dreptunghi ABCD, cu AB II CD, are m (<A)= m (<D)= 90 grade, m (<B)= 60 grade, AC perpendicular pe BC și MN= 7 cm, unde M și N sunt mijloacele laturilor A, (AD), respectiv (BC). Calculați lungimile bazelor trapezului. (Am nevoie de ea acum, cât de repede)

1

Răspunsuri

2014-11-13T12:22:03+02:00
Construim NP perpendicular pe AB, unde P apartine AB, deci AP este proiectia lui MN pe AM sau, altfel, MNPA este dreptunghi, deci [MN]=[AP] si [AM]=[PN].

In triunghiul NPB dreptunghic in P avem m(<PBN)=60 grade, deci m(<PNB)=30 grade, prin urmare PB, cateta opusa unghiului de 30 de grade va fi jumatate din ipotenuza NB (presupun ca iti este cunoscut acest rezultat).

Notam cu a=[PB], deci [AB]=7+a, pentru ca MNPA este dreptunghi, deci [MN]=[AP]. (rel 1)

[NB]=2*a, iar [NP]=a* \sqrt{3} ;

Cum MNPA este dreptunghi, vom avea

[NP]=[AM]=a* \sqrt{3} si cum N si M sunt mijloacele lui BC, respectiv AD, inseamna ca

[AM]=[MD]=a* \sqrt{3} , adica

[AD]=2*a* \sqrt{3}   (rel 2)

In triunghiul ABC dreptughic in C ai m(<B)=60 grade, deci m(<BAC)=90-60=30 grade.

In trapez, unghiul din A are 90 grade si am calculat mai sus ca m(<BAC)=30 grade, deci m(<DAC)=90-30=60 grade. Deci cateta AD se opune unghiului de 30 grade in triunghiul ADC dreptunghic in D, deci este jumatate din ipotenuza AC, adica [AC]=2*2*a* \sqrt{3} =4*a* \sqrt{3}   ( din rel 2)

Aplicand Teorema lui Pitagora in triunghiul ACD dreptunghic in D obtinem

[CD]=6*a  (rel 3)

Din rel 1 si 3, folosind proprietatea liniei mijlocii in trapez, avem

MN=(CD+AB)/2, adica
7=(6*a+7+a)/2 si facand calculele obtinem
14=7(a+1)
a+1=2
a=1
Deci [AB]=7+1=8 cm
[CD]=6*1=6 cm