Răspunsuri

2014-01-06T22:20:58+02:00
Fie x un număr real.Se numește parte întreagă a lui x, cel mai apropiat întreg mai mic sau egal cu x.Se numește parte fracționară a lui x, diferența dintre număr și partea lui întreagă.Definiția este sugerată de Axioma lui Arhimede : Pentru orice număr real x, exista un număr întreg n, unic, astfel incat n ≤ x < n + 1.Notații[modificare] - partea întreagă a numărului real x. - partea fracționară a numărului real x.Exemple[modificare]
Proprietăți imediate[modificare]Partea întreagă a oricărui număr real este un număr întreg, adică , pentru orice Orice număr întreg mai mic sau egal cu x este mai mic decât partea întreagă a lui x: , Partea întreagă a unui număr este egală cu numărul, dacă și numai dacă numărul este întreg, adică Din Axioma lui Arhimede, rezultă inegalitatea părții întregi: Orice număr real este încadrat de doi întregi consecutivi,adică pentru orice ,de unde rezultă că
Partea fracționară a unui număr real este un număr pozitiv subunitar sau nul: , pentru orice Partea fracționară a unui număr întreg este nulă: , pentru orice Remarcă: Mulțimea numerelor reale se poate scrie ca reuniunea tuturor intervalelor care au capete numere întregi consecutive:Alte proprietăți[modificare]Propoziția 1: Dacă , atunci Demonstrație:Din , cum  este un număr întreg mai mic sau egal decât y, rezultă că , cum membrul stâng este un număr întreg și cel drept un număr real, rezultă Propoziția 2: Partea întreagă a sumei a două numere reale este mai mare sau egală cu suma părților întregi ale fiecărui număr: , pentru orice Demonstrație:Din  și , rezultă . Cum membrul stâng este un număr întreg și membrul drept este un număr real, rezultă că membrul stâng este mai mic decât partea întreagă a membrului drpet: Propoziția 3: Orice termen număr întreg al unei sume "se pierde" de sub partea întreagă: , pentru orice  și Demonstrație:Fie . Se notează . La inegalitatea părții întregi se adună k în toți membrii: , ceea ce este echivalent cu . Așadar, numărul real  este situat între doi întregi consecutivi, deci, .
Propoziția 4: Orice termen număr întreg al unei sume "iese" de sub partea fracționară: , pentru orice  și Demonstrație:Fie . Propoziția 5: Identitatea lui Hermite: Demonstrație: Fie  cu Dacă x se află în prima jumătate a intervalului,  , se obține , deci . Așadar,  (1)., deci  (2).Din (1) și (2) rezultă .Dacă x se află în a doua jumătate a intervalului , rezultă , deci , deci  (3), deci  (4)Din (3) și (4) rezultă .Funcția parte întreagă[modificare]Funcția , , pentru orice  se numește funcția parte întreagă. Câteva proprietăți:Monotonie - monoton crescătoare pe : Dacă , atunci .Injectivitate - Funcția parte întreagă nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).Surjectivitate - Funcția partea întreagă este surjectivă, adică orice număr întreg este partea întreagă a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este  \ .Derivabilitate: Fiind constantă pe porțiuni, are derivata nulă; domeniul de derivabilitate este  \ .Alte proprietăți:, (din Propoziția 2), (din Propoziția 3)Funcția parte fracționară[modificare]Funcția , , pentru orice  se numește funcția parte fracționară. Câteva proprietăți:Monotonie - strict crescătoare pe orice interval de forma, unde : Dacă , atunci .Injectivitate - Funcția parte fracționară nu este injectivă (pentru că ia de mai multe ori aceeași valoare).Surjectivitate - Funcția partea fracționară este surjectivă, adică orice număr subunitar pozitiv sau nul este partea fracționară a cel puțin unui număr real: , , astfel încât .Continuitate: Funcția este continuă în orice număr real, neîntreg (este discontinuă în orice număr întreg, dar continuă la dreapta); domeniul de continuitate este  \ .Derivabilitate: Fiind egală cu diferența dintre  și un n umăr întreg, are derivata egală cu 1; domeniul de derivabilitate este  \ .Alte proprietăți:, (din Propoziția 4)
multumesc,asta am gasit si eu pe internet dar nu am inteles nimic de aceea am incercat aici
aha
Vezi acesta??