Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-10-20T13:27:27+03:00
In stanga desfac paranteza si aranjez termenii, apoi aduc un doi din dreapta:

\dfrac{xy+yz+xz+x+y+z}{2} \leq 3\sqrt{xyz}\\ \\ \\ \dfrac{xy+z}{2}+\dfrac{yz+x}{2}+\dfrac{xz+y}{2} \leq \sqrt{(xy)z}+\sqrt{(yz)x}+\sqrt{(xz)y}

In stanga avem 3 medii aritmetice, iar in dreapta 3 medii geometrice. Teoria sune ca m. aritmetica este mai mare sau egala cu m. geometrica. Egalitatea se intampla cand termanii sunt egali.

Acum, inegalitatea noastra e pe dos: in loc sa fie  \geq ,  ea este   \leq .

Singura posibilitate este ca toti termenii mediilor sa fie egali intre ei, astfel:

xy=z\\ yz=x\\ xz=y

Inlocuind din a treia ijn prima, avem:
x^2z=z\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x^2=1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x=\pm 1

Pentru x=1, ecuatiile devin:
y=z\\ yz=1\\ z=y\\ \Rightarrow y=\pm 1

................... etc, etc................

Impresia mea este ca o singura solutie e buna :  x=y=z=1.

1 5 1