Aratati ca: a la puterea 4/b + b la puterea 4/c + c la puterea 4/a > ab^+bc^+ca^,pentru a,b,c>0.

1
ab^ inseamna radical din ab?
inseamna ab si b e la puterea a 2 a.
ma gandesc, e grea
Exponentul lui a este 4 sau 4/b in primul membru al inegalitatii?

Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-10-16T23:18:43+03:00
Folosim inegalitatea dintre media artimetica si media geometrica.
M_a \leq M_g<=> \frac{a+b}{2} \leq  \sqrt{a\cdot b} <=>a+b \leq 2 \sqrt{a\cdot b}
Folosind ultima inegalitate obtinem:
 \frac{a^4}{b} +bc^2 \leq 2a^2c\\&#10; \frac{b^4}{c} +ca^2 \leq 2b^2a\\&#10; \frac{c^4}{a} +ab^2 \leq 2c^2b\\
Insumam inegalitatile:
 \frac{a^4}{b} +bc^2+ \frac{b^4}{c} +ca^2+ \frac{c^4}{a} +ab^2 \leq 2a^2c+2b^2a+2c^2b\\&#10; \frac{a^4}{b} + \frac{b^4}{c} + \frac{c^4}{a} \leq a^2c+b^2a+c^2b