Rezolvati in multimea nr nat ecuatia (x+1)*(y+1)=x*y*z va rog de clasa a VI-a fara nr negative. Multumesc!

1
O ecuație (bine, poate în naturale), 3 necunoscute. Ăstea nu se prea pot rezolva :))
@Paulstelian97 : nu fii așa sigur!
Nu am zis că nu se pot rezolva de tot :)) Am zis: „nu se PREA pot rezolva” :))

Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-02-14T01:03:53+02:00
Observăm că x și y sunt diferite de 0, altfel ar da:
1 * 1 = 0
Considerăm:
z = (x+1)(y+1) / xy
Observație: z > 1
z = [xy + x + y + 1] / xy
z = 1 + x / xy + y / xy + 1 / xy
z = 1 + 1/y + 1/x + 1/xy
Știind că z este număr natural, putem(*) trage concluzia că toate fracțiile sunt și ele egale cu 1, deci x = y = 1, iar z = 4.
----------------
* = nu sunt 100% sigur de acest aspect, dar nu cred că există alte numere naturale pentru care 1 / x + 1 / y + 1 / xy să dea un număr natural.
Cu excepția unei sume „ciudate”, anume 1/2+1/3+1/6=1
Dar alte numere cu siguranță nu mai sunt.