Răspunsuri

2014-02-12T22:15:25+02:00
Notez dimennsiunile dreptunghiului cu x si y si obtin:
x²+y²=180
xy=72
(x+y)²=x²+y²+2xy=180+144=324⇒x+y=18
Se observa ca numerele 8 si 9 au suma 18 si produsul 72, deci lungimea este 9 cm.
Aici am gresit, si am fost avertizat de Astronos 27. Este vorba intr-adevar de numerele 12 si 6, deci lungimea este 12, asa cum a rezolvat cineva mai jos.

Se pot afla numerele x si y din ecuatia de gradul doi  x^{2} -18x+72=0
(ecuatia  x^{2} -Sx+P=0 este ecuatia ale carei radacini dau suma S
 si produsul P.)
\Delta=324-288=36\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{18\pm6}{2}\Rightarrow x_1=12;x_2=6


Scuze ca intervin, dar numerele 8 si 9 nu au suma 18 :D. E vorba de numerele 6 si 12.
2014-02-12T22:16:26+02:00
Sa notam latimea dreptunghiului cu a, iar lungimea cu l.

Din faptul ca aria este de 72 cm, obtinem prima relatie, si anume ab=72.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD, cu ipotenuza BD, de 6 \sqrt{5} . Obtinem  (6 \sqrt{5})^2=a^2+b^2 . De aici, a^2+b^2=180

Scotand din prima relatie pe b si tinand cont ca a este diferit de 0, obtinem b= \frac{72}{a} .

Inlocuim in cea de-a doua relatie.

a^2+ (\frac{72}{a})^2=180

Eliminam numitorul.

a^4+5184=180a^2 <=> a^4-180a^2+5184=0

Am obtinut o ecuatie bipatrata in necunoscuta a. Notam a^2=y>0 si obtinem ecuatia de gradul 2 in necunoscuta y:

y^2-180y+5184=0

delta=11664=108^2

Solutiile sunt y1=36 si y2=144, ambele pozitive, deci convin.

Pentru  y1=36 => a^2=36 => a=6 => b= \frac{72}{6} =12
Pentru  y2=144 => a^2=144 => a=12 => b= \frac{72}{12}  = 6

Deci latimea, respectiv lungimea, vor fi de 6 cm, respectiv de 12 cm.