Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-02-11T21:09:57+02:00
Numarul nostru:  abc cu bara deasupra, a,b,c - cifre distincte, a diferit de 0

Primul caz.
Cifrele b si c sunt diferite de 0.
   abc = ab + ac + ba + bc + ca + cb   ( toate cu bara deasupra )
100a + 10b + c = 10a+b + 10a+c + 10b+a + 10b+c + 10c+a + 10c+b
100a + 10b + c = 22a + 22b + 22c
78a = 12b +21c  /:3
26a = 4b + 7c
     Fie a=1 => 26 = 4b + 7c   => b=3   si c=2
     Fie a=2 => 52 = 4b + 7c   => b=6   si c=4
                                                sau b=13 si c=0 ( imposibil )
     Fie a=3 => 78 = 4b + 7c   => b=16 si c=2 ( imposibil )
                                                sau  b=9   si c=6
                                                sau  b=2  si c=10 ( imposibil )
     Fie a=4 => 104 = 4b +  7c
   Dar observam ca pentru b si c cifre maxime ( b=c=9 ), atunci 4b + 7c = 99, deci pentru a ≥ 4 nu exista b si c.
    Deci abc cu bara deasupra ∈ {132; 264;396 }

Al doilea caz. Cifra b este 0; atunci nu se mai pot forma numerele ba si bc ( cu 
                                                                                                                                        bara )
   Si deci a0c = a0 + ac + ca + c0 ( cu bara )
      100a + c = 10a + 10a+c +10c+a +10c
      100a + c = 21a + 21c
      79a = 20c => nu exista a si c

Al treilea caz. Cifra c este 0; atunci nu se mai pot forma numerele ca si cb ( cu
                                                                                                                                        bara )
    Si deci ab0 = ab + a0 + ba + b0
        100a + 10b = 10a+b + 10a + 10b+a + 10b
        100a + 10b = 21a + 21b
         79a = 11b => nu exista a si b

In cazul b=c=0, atunci a00 = a0 + a0 => 100a = 20a => nu exista a.

In concluzie: abc ∈ { 132; 264; 396 }
1 5 1