Geometrie, a VIII- a, teorema celor 3 perpendiculare.


Pe planul triunghiului dreptunghic ABC, m(<A)=90*, cu AB=30 cm, AC=40 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=8√3 cm. Aflati:
a) distanta de la P la BC
b) distanta de la A la planul PBC
c) masura unghiului diedru format de planele PBC si ABC.

1

Răspunsuri

2014-02-11T02:40:34+02:00
AB^2 + AC^2 = BC^2 => BC =  \sqrt{AB^2 + AC^2} =  \sqrt{40^2+30^2} \\&#10; =\sqrt{2500}=50 \\\\a)\: AC*AB = BC*AM => AM =  \frac{AC*AB}{BC} = 32 \\\\&#10;\:Distanta\:de\:la\:P\:la\:BC\:este\:tocmai\:perpendiculara\:PM\:unde\:M\in BC\\&#10;\:In\:triunghiul\:APM:\\&#10;PA \perp AM => \angle PAM = 90^\circ => PAM\:triunghi\:dreptunghic\\&#10;=> PM^2 = AP^2 + AM^2 => PM =  \sqrt{AP^2 + AM^2} =  \sqrt{64*3 + 32^2} \\&#10;=  \sqrt{1216}  = 4\sqrt{71} \\\\&#10;\:Distanta\:de\:la\:A\:la\:planul\:PBC\:este\:tocmai\:perpendiculara\:AN
sa\:spunem, unde\:N \in PBC\:si\:chiar\:mai\:mult, N\:\in PM\\\\&#10;Aplicam\:ca\:si\:mai\:sus\:formula\:ariei\:care\:se\:poate\:scrie\:in\:2\:moduri\\&#10;pentru\:un\:triunghi\:dreptunghic,\:adica\:baza\:ori\:inaltimea\:supra\:2\\&#10;sau\:cateta\:ori\:cateta\:supra\:2.\\&#10;AM*AP = AN*PM => AN = AM*AP / PM =   \frac{32 * 8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{71}}  =  \frac{64 \sqrt{213} }{71} \\\\
Pentru ultimul subpunct, se folosesc functiile trigonometrice. De exemplu, sinM = AP/PM si ramai cu acel raport, sau calculezi cat face acel sinus folosind un tabel trigonometric, ar trebui sa ai in carte asa ceva. Daca am gresit la calcule, scuze, dar poti corecta. Sper ca ai inteles ideea de baza. Spor !