Răspunsuri

2014-08-11T20:02:49+03:00
Demonstrăm prin inducție.
Pentru n=1 formula pentru a_n se verifică.
Presupunem că formula este adevărată pentru toți termenii a_k, \ k=1,2,\ldots,n-1
Atunci
a_n=5a_{n-1}-4a_{n-2}=5\left(4^{n-1}+1\right)-4\left(4^{n-2}+1\right)=\\=5\cdot 4^{n-1}-4^{n-1}+1=4^{n-1}(5-1)+1=4^n+1
Deci formula este adevărată și pentru a_n
1 5 1
2014-08-11T20:23:27+03:00
Ecuatia caracteristica este r^2=5r-4 cu solutiile 4 si 1.
a_n=c_1 \cdot 4^n+c_2 \cdot 1^n\\
a_1=4c_1+c_2=5\\
a_2=16c_1+c_2=17\\
c_1=1;c_2=1
\\a_n=1 \cdot 4^n+1 \cdot 1^n=4^n+1\\
a_n=4^n+1
Petru detalii: http://www.didactic.ro/materiale-didactice/79439_recurente-liniare-de-ordinul-2