Răspunsuri

2014-08-06T11:19:36+03:00
Rezultatul sumei nu este corect.
Pentru n=2 se obține suma \left[\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{2}\right]=2, dar înlocuind în dreapta se obține 3.
La fel dacă n=3 se obțin rezultate diferite.
Dar să calculăm totuși suma.
Avem \left[\sqrt{m}\right]=k\Leftrightarrow k\le \sqrt{m}<k+1\Leftrightarrow k^2\le m<(k+1)^2.
Deci:
\left[\sqrt{m}\right]=1\Rightarrow 1\le m<4
\left[\sqrt{m}\right]=2\Rightarrow 4\le m<9
.......................................................................
\left{\sqrt{m}=n-2\Rightarrow (n-2)^2\le m<(n-1)^2
Avem (n-1)^2<n(n-1)<n^2, deci pentru numerele de la (n-1)^2 la n^2-n partea întreagă a radicalului este n-1.

Atunci suma este
\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}k\left[(k+1)^2-k^2\right]+(n-1)\left(n^2-n-(n-1)^2+1\right)=\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}(2k^2+k)+n(n-1)=\\=2\cdot\displaystyle\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}+\frac{(n-2)(n-1)}{2}+n(n-1)=\\=\displaystyle\frac{(n-1)(4n^2-5n+6)}{6}