Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-07-18T12:12:11+03:00
Segmentul are capetele în punctele A(1,0), \ B(e,1)
Ecuația dreptei AB este: \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\Rightarrow y=\frac{x-1}{e-1}. Funcția care are graficul acest segment este g(x)=\frac{x-1}{e-1}. Graficul funcției f este deasupra graficului funcției g pe intervalul [1,e].
Atunci aria este \int_1^e\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_1^e\left{\ln x-\displaystyle\frac{x-1}{e-1}\right)dx=\int_1^e\ln xdx-\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx.
Avem \int_1^e\ln xdx=\int_1^ex'\ln xdx=\left. x\ln x\right|_1^e-\int_1^ex\cdot\frac{1}{x}dx=e-\left. x\right|_1^e=e-e+1=1.
\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx=\left. \frac{(x-1)^2}{2(e-1)}\right|_1^e=\frac{e-1}{2}.
Atunci aria este 1-\frac{e-1}{2}=\frac{3-e}{2}
2 5 2