Se considera functia f : R R , definita prin f ( x ) = π^x − π^− x .
Studiati daca functia f este bijectiva.

a) f injectiva pe R
b)
f surjectiva pe R
c)
f bijectiva pe R
d)
f injectiva pe (0 , + ∞ )
e)
f surjectiva pe (0 , + ∞ )
f)
f bijectiva pe (0 , + ∞ )

1
in ce clasa faci asta si la ce profil ?
problema este pentru un examen de admitere

Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-07-16T21:31:24+03:00
 Intai studiem injectivitatea functiei :
Derivata functiei f este:f'(x)=\pi^{-x}(\pi^{2x}+1)ln\pi>0,\forall x\in R=>f \
strict \ crescatoare \ pe\ R=>\\ =>f \ injectiva \ pe \
R
Studiem surjectivitatea:


(\forall)y \in R (\exists)x\in R \ astfel \ incat\ f(x)=y\\
\pi^x-\pi^{-x}=y\\
\pi^{x}- \frac{1}{\pi^{x}} =y\\
Notam\ \pi^{x}=t\\
t-\frac{1}{t}=y=>t^2-ty-1=0\\
t_{1/2}= \frac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{y}=>\\
\pi^x= \frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y}=> logaritmam \ in  \ baza   \pi\\
x=log_{\pi}\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y} \in R,\forall y \in R
In concluzie, functia este si surjectiva pe R.
In final, functia f este bijectiva pe R.