Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-07-09T20:29:42+03:00
Rezolvăm mai întâi integrala, descompunând-o în fracţii simple:

 \frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}+1} = \frac{Ax^{2}+A+Bx}{x(x^2+1)}

La numărător trebuie să avem 1:

Ax^{2}+A+Bx = 1\\
=> A=1 \ si \ B=-x

Având A-ul şi B-ul, integrala iniţială va fi de forma:

 \int\limits^t_1 {\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}} \, dx =  \int\limits^t_1 {\frac{1}{x} - \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}}

Le luăm separat:

\int\limits^t_1 {\frac{1}{x} \ dx = lnx \ |^{t}_{1} = ln \ t

- \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}} = - \frac{1}{2}\int\limits^t_1 \frac{2x}{x^{2}+1}}

notăm x^{2}+1=y <=> 2x \ dx = dy

=>  -\frac{1}{2} ln (x^{2} +1) |^{t}_{1} = -\frac{1}{2} ln (t^{2} +1) - \frac{1}{2}ln2

După ce aducem totul la o formă mai convenabilă, o să avem:

 \lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}}

Limită din ln este egală cu ln din limită. Evident, limita la acea fracţie este 1 (grad 1 pe grad 1):

\lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}} = ln \ 1 = 0




Rezultatul final este, de fapt, (ln2)/2, dar cea care conteaza e metoda de rezolvare, de care uitasem complet. Multumesc mult de tot :)