Răspunsuri

2014-07-01T19:06:47+03:00
I_n= \int\limits^1_0 {x^ne^{2x}} \, dx



b) 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2

I_{n+1}=  \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx

Facem integrarea prin părţi:

\int\limits^1_0 {x^{n+1}*\frac{e^{2x}}{2}} =\frac{1}{2} x^{n+1}*e^{2x}|_{0}^{1} - \frac{1}{2}\int\limits^1_0 {(x^{n+1})'*e^{2x}}

=\frac{1}{2}*e^2 - \frac{1}{2}*\int\limits^1_0 {(n+1)x^n*e^{2}}=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}(n+1)I_n

În cerinţă avem 2I_{n+1}, deci înmulţim chestia de mai sus cu 2:

2I_{n+1}=e^{2}-(n+1)I_n

=> 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^{2}-(n+1)I_n + (n+1)I_n=e^2 qed



c) Ne folosim de punctul anterior, de unde îl scoatem pe (n+1)I_n:

2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^2 => (n+1)I_n = e^2 - 2I_{n+1}

Îl înlocuim în acea inecuaţie:

1  \leq  e^2 - 2I_{n+1}  \leq e^2

Faptul că e^2 - 2I_{n+1} \leq e^2 este evident că e adevărat, deci rămâne doar să mai demonstrăm prima parte, adică:

1  \leq e^2-2I_{n+1} | Îl separăm pe 2I_{n+1}

2I_{n+1} \leq e^2-1


Acum ne construim acea formă din integrala iniţială pornind de la faptul că x∈[0,1]:

0  \leq x \leq 1  | ridicăm la puterea (n+1) termenii

0^{n+1}\leq x^{n+1}\leq 1^{n+1}

0\leq x^{n+1}\leq 1 | Înmulţim cu e^{2x}

0  \leq x^{n+1}*e^{2x}\leq e^{2x} | Aplicăm integrală de la 0 la 1 după care înmulţim cu 2:

0 \leq 2  \int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx    \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx

Prima parte nu ne interesează, deci rămânem cu:

2\int\limits^1_0 {x^{n+1}*e^{2x}} \, dx \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx  (unde termenul din stânga reprezintă 2I_{n+1} .

=> 2I_{n+1} \leq 2\int\limits^1_0{e^{2x}} \, dx= e^2-1 qed
1 5 1