Răspunsuri

2014-06-29T18:14:14+03:00

Acesta este un Răspuns Aprobat

×
Răspunsurile aprobate sunt corecte şi de încredere, fiind corectate de o mână de utilizatori foarte buni. Brainly are milioane de răspunsuri de înaltă calitate, toate fiind verificate cu grijă de către moderatorii din cadrul comunităţii.
a) Îl dăm factor comun pe (x+1) şi facem acele înmulţiri de la numitor (ca să observăm mai uşor termenul general):

(x+1) * \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + .... + \frac{1}{2009*2011} = \frac{1005}{2011}

După cum observi, numitorul este pătratul perfect al numerelor pare - 1, adică:

\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2-1}

\frac{1}{15}=\frac{1}{4^2-1} şamd

Deeeeeeci, termenul general va vi de forma: \frac{1}{(2n)^2-1)}

(x-ul rămâne în afară, fiindcă l-am dat factor comun)

Ecuaţia se va scrie:

x\sum_{n=1}^{1005} \ \frac{1}{4n^2-1}

Acel 1005 l-am obţinut egalând termenul general cu ultimul termen din acel şir:

\frac{1}{(2n)^2-1} = \frac{1}{2009*2011} => n= \frac{\sqrt{2009*2011+1}}{2}=1005

Nu ştiu cum v-a învăţat pe voi să rezolvaţi acele sume (care aparent se numesc 'sume telescopice', fancy word :)) .. ), dar cea mai lejeră metodă este să descompui acea fracţie 'compusă' în două fracţii simple:

\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}

De aici aflăm A şi B....Anyway, nu cred că are rost să explic toţi paşii pentru descompunere, fiindcă mai mult ca sigur ai altă metodă. Chestia e că în final o să ajungem la:

x\sum_{n=1}^{1005} \ \frac{1}{4n^2-1} = x\sum_{n=1}^{1005}  \ ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)})

Dacă dai nişte valori lui n pentru primii 2 termeni, observi că se simplifică între ei. De exemplu, dacă aş face suma de la n=1 până la 2 o să obţinem:

\sum_{n=1}^{2} \  ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)})=

 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10}

Dacă am face de la n=1 la 1005 am rămâne doar cu primul şi ultimul termen. Ce vreau să explic este că acea sumă va fi egală cu:
 
\sum_{n=1}^{2} \ ( \frac{1}{2(2n-1)} - \frac{1}{2(2n+1)}) = \frac{1005}{2011}

Deci x=1.


b) Modul de rezolvare l-am mai scris şi aici: http://brainly.ro/tema/125097.

=> x(1+\sqrt{2024})=4004 => x= \frac{4004}{1+2\sqrt{506}}

mda, arată cam urât rezultatul... :-??

 

2 5 2