Răspunsuri

2014-06-18T14:15:46+03:00
Prisma patrulatera regulata este prisma dreapta cu baza un patrat.

In cazul nostru, latura patratului de baza este 8 cm, iar inaltimea (muchia laterala) este 6 cm.


a)      Pentru a afla distanta d (B', AD') trebuie sa ducem perpendiculara din B’ pe AD’. Cum 
B’A’ perpendicular pe A’D’
B’A’ perpendicular pe A’A
Rezulta ca B’A’ perpendicular pe planul A’AD’   (1)  

In triunghiul A’D’A construim inaltimea din A’ si notam A’M aceasta inaltime, cu M apartine lui AD’. Laturile acestui triunghi dreptunghic sunt D’A’=8cm si A’A de 6 cm, iar D’A’ perpendicular pe A’A, deci, cu teorema lui Pitagora putem afla si latura AD’:

AD’ ^2=D’A’^2+AA’^2 AD’^2=36+64=100 AD’=10 cm  

Acum vom afla inaltimea AM, exprimand aria triunghiului dreptunghic AA’D’ in doua feluri, de unde egalitatea:  

A’M*AD’=AA’*A’D’ si inlocuind valorile obtinem: A’M=24/5 cm=4,8 cm  

Acum, folosind teorema celor trei perpendiculare (t3p), vom arata ca B’M perendicular pe AD’, adica B’M este distanta cautata, pe care o vom calcula dupa aceea:  

B’A’ perpendicular pe planul A’AD’  din relatia (1)
A’M perpendicular pe AD’ (din constructia inaltimii A’M)
Din t3p rezulta B’M perpendicular pe AD’.

Cum B’A’ perpendicular pe planul A’AD’ din relatia (1) si
A’M inclusa in planul A’AD’
rezulta ca B’A’ perpendicular pe A’M, deci triunghiul B’A’M este dreptunghic, cu B’A’ perpendicular pe A’M, iar B’A’=8 cm, A’M=4,8 cm  (am calculat mai sus), deci, cu teorema lui Pitagora putem afla si latura B’M:
 

B’M^2=8^2+4,8^2=64+576/25=(1600+576)/25=2176/25=64*34/25 B’M=(8 radical din 34)/5 = d (B', AD')  

b)      Construiesc perpendiculara din O pe planul A’CD, adica planul A’B’ CD.

Fie P mijlocul lui AB si P’ mijlocul lui A’B’, iar N mijlocul lui CD.

Rezulta ca P’P este paralela cu muchia laterala a prismei drepte date, deci P’P este perpendiculara pe planul bazei in punctul P si cum PN este inclusa in planul bazei si trece prin P rezulta ca P’P este perpendiculara pe PN   (notam ca relatia 1) si P’P este perpendiculara pe AB, deci

P’P este perpendiculara pe planul ABC (notam ca relatia 2)


Mai avem ca PN || AD||BC, deci PN este perpendiculara pe CD  (notam ca relatia 3) 

Din relatiile (2) si (3) rezulta, din (t3p) ca P’N este perpendiculara pe CD (notam ca relatia 4)


Din relatiile (4) si (3) rezulta ca CD este perpendiculara pe planul P’PN, deci orice plan care o include pe CD va fi perpendicular pe planul P’PN, in particular planul A’B’CD este perpendicular pe planul P’PN, cu P’P dreapta de intersectie.

Cum centrul O(=intersectia diagonalelor bazei patrat) se afla in planul P’PN, inseamna ca trebuie doar sa ducem inaltimea din O pe dreapta de intersectie a planurilor, P’P.

Observam ca in triunghiul dreptunghic P’PN (din relatia 1), cu P’P perpendicular pe PN, O este mijlocul lui PN=8cm, deci PO=4 cm, iar P’P=6 cm. P’N=10 cm (cu teorema lui Pitagora in triunghiulP’PN, unde P’N este ipotenuza).

Ducem OE perpendiculara din O pe P’N si ducem PF perpendiculara din P pe P’N in triunghiul P’PN. Cum O este mijlocul lui PN si cele dou perpendiculare pe P’N sunt paralele, rezulta ca OE=PF*1/2.

Calculam PF ca inaltime in triunghiul dreptunghic P’PN la fel ca la punctul a) si obtinem:
PF=24/5 cm
OE=12/5=2,4 cm



1 5 1