Răspunsuri

2014-06-09T19:23:08+03:00
\int   \frac{1+\sqrt{x}}{1+x) }  = \int  ( \frac{1}{1+x)} + \frac{\sqrt{x}}{1+x) }  ) = \int \frac{1}{1+x} + \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}

Acum le luăm separat:

1.  \int \frac{1}{1+x} \ dx; \\&#10;notam \ 1+x = t <=> (1+x)' = t' <=> dx = dt; \\&#10;\int  \frac{1}{t} =  ln \ t = ln (x+1)

2.  \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx =  \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\&#10;notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=>  \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt;

Modificăm integrala iniţială într-un mod convenabil, ca să putem folosi ce am calculat mai sus:

\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \ dx = \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx; \\ notam \sqrt{x} = t => \sqrt{x}' = t' <=> \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt; \\&#10; \int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}^2} \ dx =  \int \frac{(2\sqrt{x}) \sqrt{x}}{(2\sqrt{x})(1+\sqrt{x}^2)} \ dx&#10;

(am pus între paranteze ce am adăugat, ca să se observe - acel 2 \sqrt{2} -)

Înlocuim  \frac{1}{2\sqrt{x}} cu dt (cel rezultat din schimbarea de variabilă):

\int \frac{2\ t \  t}{1+t^2} dt = 2 \int \frac{ t^2}{1+t^2} dt = 2 \int 1-  \frac{1}{1+t^2} \ dt = 2 \int 1 dt - 2 \int  \frac{1}{1+t^2} dt \\ \\&#10;=2t -  2 \int  \frac{1}{1+t^2} dt  \\ \\&#10; \int  \frac{1}{1+t^2} dt  = arctg \ t

De aici presupun că te descurci..

le: aparent site-ul are buguri; văd că s-au bulit formulele ... o_O