Răspunsuri

2014-06-09T12:46:14+03:00
Notez:  u=x+y \\  \\ v=xy

Prima ecuație se poate rescrie:

2x^2+2y^2+x^2-2xy+y^2=9 \\  \\ 3(x^2+y^2)-2xy=9 \\  \\ 3(x+y)^2-8xy=9 \\  \\ 3u^2-8v=9.

Atunci sistemul devine:

\displaystyle \left\{3u^2-8v=9\atop u+v=-1

Scoatem pe v din a doua și-l introducem în prima, obținând:

3u^2+8u-1=0 \\  \\ \Rightarrow u_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{19}}{3} \\  \\ \Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\mp\sqrt{19}}{3}

Avem apoi de rezolvat sistemul 
\left\{x+y=u\atop xy=v

care se rezolvă găsind soluțiile ecuației asociate lui  t^2-ut+v=0

Pentru cazul 1, avem ecuația  t^2-u_1t+v_1=0 ,  care dă soluțiile \left\{-1;\dfrac{-1+\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _1; \beta _1\right\}

Pentru celălalt caz, obținem soluțiile \left\{-1;\dfrac{-1-\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _2; \beta _2\right\}

În concluzie, avem 4 perechi de soluții: 
(x,y)=\left\{( \alpha _1, \beta _1);( \beta _1, \alpha _1);( \alpha _2, \beta _2);( \beta _2, \alpha _2)\right\}.

(PS: Ecuațiile urâte de gr 2 le-am rezolvat cu Wolfram alpha)