Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-06-03T12:16:55+03:00
A) Împărțim expresia cu 8 și folosim faptul că media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică:

\dfrac{a+b}{2}\cdot \dfrac{b+c}{2}\cdot\dfrac{c+a}{2} \geq \sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}=\sqrt{a^2b^2c^2}=abc.

De unde rezultă direct inegalitatea cerută.

b) Împărțim expresia cu abc:

\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca} \geq 6.

Demostrăm că fiecare din cele trei fracții e  \geq 2.

Ceea ce este echivalent cu \dfrac{a^2+b^2}{ab}-2 \geq 0.

Luăm expresia din stânga și aducem la același numitor:

=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab} \geq 0\text{  , pentru orice numere pozitive a,b.}

Celelalte două fracții se demostrează la fel.

În final, adunând cele trei fracții, obținem că ele sunt  \geq 2+2+2=6  și inegalitatea este demonstrată.
1 5 1