Răspunsuri

Cel mai inteligent răspuns!
2014-05-25T14:35:09+03:00
R25.
Pentru cazul x \in Q , funcțiile sunt egale, deci este evident că egalitatea are loc.
Pentru celălalt caz, calculăm mai întâi f\circ f:
f\circ f=f\left(f(x)\right)=-f(x)=-(-x)=x .

Să calculăm acum g\circ g:
g\circ g=g(g(x))=\frac{1-g(x)}{1+g(x)}=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}=...(calcule)...=x.

Se vede acum că f\circ f=g\circ g=H, unde am notat H(x)=x.
În acest context, ținând cont de propritatea de asociativitate a compunerii funcțiilor, egalitatea din enunț devine:
\underbrace{H\circ H\circ ... \circ H}_{n \ \text{ori}}=\underbrace{H\circ H\circ ... \circ H}_{n \ \text{ori}}
ceea ce este evident adevărat.
Acum, f o f = f(f) = 2f + (a-1)/2 = 2(2x + (a-1)/2) + (a-1)/2
=4x + 3(a-1)/2
Dar f o f trebuie sa fie 2x + 1
deci avem o chestie imposibila aici.
Din rationamentul de mai sus, rezulta ca nu exista nici o functie care sa satisfaca ipoeza.