×

Fie a,b,c,d numere rationale strict positive.Demonstrati ca media aritmrtica a numerelor

a:c si b:d este egala cu (a+b):(c+d) daca si numai daca a:b=c:d sau c=d.

Întreabă pe Laurita despre această întrebare...

Răspunsuri renunţă

Consideram ipoteza urmatoare adevarata:
\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{a+b}{c+d}
\frac{\frac{a}{c}+\frac{b}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2cd}
Consideram c=d atunci avem:
\frac{c(a+b)}{2c^{2}}=\frac{a+b}{2c}=\frac{a+b}{c+d}
Ipoteza este adevarata pentru c=d
Consideram \frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Deci ad=bc
Inlocuind in relatie avem:
\frac{2ad}{2cd}=\frac{a}{c}
\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow a(c+d)=c(a+b)\Leftrightarrow ac+ad=ac+bc\Leftrightarrow
\Leftrightarrow ad=bc(ipoteza)
Deci ipoteza este adevarata pentru ad=bc.
Acum mai trebuie sa demonstram ca ipoteza pe caz general este falsa daca cele 2 conditii nu sunt indeplinite(a/b=c/d sau c=d)
\frac{ad+bc}{2cd}=\frac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow
(c+d)(ad+bc)=2cd(a+b)\Leftrightarrow
acd+bc^{2}+ad^{2}+bcd-2acd-2bcd=0\Leftrightarrow
bc^{2}+ad^{2}-acd-bcd=0
Ipoteza este falsa daca ad diferit de bc sau c diferit de d
Sunt putin cam prost,trebuia sa ajung la forma asta a ecuatiei si de aici sa deduc egalitatea numai pentru ecuatiile date.






Hei! Încă ai dubii în ceea ce priveşte răspunsul?

Verifică răspunsurile similare

Ajutor gratuit
cu tema de casă!

Ai probleme cu tema de casă?
Cere ajutor gratuit!

80% dintre întrebări primesc răspunsul în decurs de 10 minute

Noi nu doar răspundem, ci şi explicăm

Calitatea este asigurată de experţii noştri

Pune gratuit o întrebare legată de tema ta de casă!

Pune o întrebare